पेंडुलम हलत असताना त्यावर कोणती शक्ती कार्य करतात? गणितीय पेंडुलम: कालावधी, प्रवेग आणि सूत्रे. दोलन गतीची गतिशीलता

गणिताचा पेंडुलमपृथ्वीच्या गुरुत्वाकर्षण क्षेत्रात स्थित वजनहीन आणि अगम्य थ्रेडवर निलंबित केलेला एक भौतिक बिंदू आहे. गणितीय पेंडुलम हे एक आदर्श मॉडेल आहे जे विशिष्ट परिस्थितीतच वास्तविक पेंडुलमचे अचूक वर्णन करते. वास्तविक पेंडुलम हे गणितीय मानले जाऊ शकते जर धाग्याची लांबी तिच्यावर निलंबित केलेल्या शरीराच्या आकारापेक्षा खूप जास्त असेल, धाग्याचे वस्तुमान शरीराच्या वस्तुमानाच्या तुलनेत नगण्य असेल आणि थ्रेडचे विकृत रूप इतके लहान असेल. की त्यांच्याकडे पूर्णपणे दुर्लक्ष केले जाऊ शकते.

या प्रकरणातील दोलन प्रणाली एका धाग्याने, त्यास जोडलेले शरीर आणि पृथ्वीद्वारे तयार केली जाते, ज्याशिवाय ही प्रणाली पेंडुलम म्हणून काम करू शकत नाही.

कुठे ए एक्स – प्रवेग, g - गुरुत्वाकर्षण प्रवेग, एक्स- विस्थापन, l- पेंडुलम धाग्याची लांबी.

या समीकरणाला म्हणतात गणितीय पेंडुलमच्या मुक्त दोलनांचे समीकरण.जेव्हा खालील गृहीतके पूर्ण होतात तेव्हाच ते प्रश्नातील कंपनांचे अचूक वर्णन करते:

2) लहान स्विंग कोन असलेल्या पेंडुलमच्या फक्त लहान दोलनांचा विचार केला जातो.

कोणत्याही प्रणालीच्या मुक्त कंपनांचे वर्णन सर्व प्रकरणांमध्ये समान समीकरणांद्वारे केले जाते.

गणितीय पेंडुलमच्या मुक्त दोलनांची कारणे आहेत:

1. पेंडुलमवरील ताण आणि गुरुत्वाकर्षणाची क्रिया, त्यास समतोल स्थितीपासून हलविण्यापासून प्रतिबंधित करते आणि पुन्हा पडण्यास भाग पाडते.

2. पेंडुलमची जडत्व, ज्यामुळे तो, त्याचा वेग राखून, समतोल स्थितीत थांबत नाही, परंतु त्यातून पुढे जातो.

गणितीय पेंडुलमच्या मुक्त दोलनांचा कालावधी

गणितीय पेंडुलमच्या मुक्त दोलनाचा कालावधी त्याच्या वस्तुमानावर अवलंबून नसतो, परंतु केवळ धाग्याच्या लांबीवर आणि पेंडुलम असलेल्या ठिकाणी गुरुत्वाकर्षणाच्या प्रवेगानुसार निर्धारित केला जातो.

हार्मोनिक दोलन दरम्यान ऊर्जा रूपांतरण

स्प्रिंग पेंडुलमच्या हार्मोनिक दोलनांदरम्यान, लवचिकपणे विकृत शरीराची संभाव्य ऊर्जा त्याच्या गतिज उर्जेमध्ये रूपांतरित होते, जेथे k – लवचिकता गुणांक, X -समतोल स्थितीतून पेंडुलमच्या विस्थापनाचे मॉड्यूलस, मी- पेंडुलमचे वस्तुमान, v- त्याची गती. हार्मोनिक कंपन समीकरणानुसार:

, .

स्प्रिंग पेंडुलमची एकूण ऊर्जा:

.

गणितीय पेंडुलमसाठी एकूण ऊर्जा:

गणितीय पेंडुलमच्या बाबतीत

स्प्रिंग पेंडुलमच्या दोलन दरम्यान ऊर्जा परिवर्तन यांत्रिक उर्जेच्या संवर्धनाच्या कायद्यानुसार घडते ( ). जेव्हा पेंडुलम त्याच्या समतोल स्थितीतून खाली किंवा वर सरकतो तेव्हा तिची संभाव्य ऊर्जा वाढते आणि गतीज ऊर्जा कमी होते. जेव्हा पेंडुलम समतोल स्थिती पास करते ( एक्स= 0), तिची संभाव्य ऊर्जा शून्य आहे आणि पेंडुलमच्या गतीज उर्जेचे मूल्य त्याच्या एकूण ऊर्जेइतके आहे.

अशाप्रकारे, पेंडुलमच्या मुक्त दोलनांच्या प्रक्रियेत, तिची संभाव्य उर्जा गतीजमध्ये, गतिज संभाव्यतेमध्ये, संभाव्य नंतर गतिजमध्ये बदलते, इ. परंतु एकूण यांत्रिक ऊर्जा अपरिवर्तित राहते.

जबरी कंपने. अनुनाद.

बाह्य नियतकालिक शक्तीच्या प्रभावाखाली होणाऱ्या दोलनांना म्हणतात सक्ती दोलन. बाह्य नियतकालिक बल, ज्याला प्रेरक शक्ती म्हणतात, दोलन प्रणालीला अतिरिक्त ऊर्जा प्रदान करते, जी घर्षणामुळे होणारी ऊर्जा हानी भरून काढण्यासाठी जाते. सायन किंवा कोसाइनच्या नियमानुसार प्रेरक शक्ती वेळेत बदलत असल्यास, सक्तीचे दोलन सुसंवादी आणि अखंड असतील.

मुक्त दोलनांच्या विपरीत, जेव्हा प्रणालीला फक्त एकदाच ऊर्जा मिळते (जेव्हा प्रणाली समतोल बाहेर आणली जाते), तेव्हा सक्तीच्या दोलनांच्या बाबतीत, प्रणाली ही ऊर्जा बाह्य नियतकालिक शक्तीच्या स्त्रोताकडून सतत शोषून घेते. ही ऊर्जा घर्षणावर मात करण्यासाठी खर्च झालेल्या नुकसानाची भरपाई करते आणि म्हणूनच दोलन प्रणालीची एकूण ऊर्जा अजूनही अपरिवर्तित आहे.

सक्तीच्या दोलनांची वारंवारता प्रेरक शक्तीच्या वारंवारतेइतकी असते. प्रेरक शक्ती वारंवारता जेथे बाबतीत υ दोलन प्रणालीच्या नैसर्गिक वारंवारतेशी जुळते υ 0 , सक्तीच्या दोलनांच्या मोठेपणामध्ये तीव्र वाढ झाली आहे - अनुनाद. रेझोनान्स या वस्तुस्थितीमुळे उद्भवते की जेव्हा υ = υ 0 बाह्य शक्ती, मुक्त कंपनांसह वेळेत कार्य करते, नेहमी दोलन शरीराच्या गतीशी संरेखित असते आणि सकारात्मक कार्य करते: दोलन शरीराची उर्जा वाढते आणि त्याच्या दोलनांचे मोठेपणा मोठे होते. सक्तीच्या दोलनांच्या मोठेपणाचा आलेख ए ट चालक शक्ती वारंवारता वर υ आकृतीमध्ये सादर केलेल्या, या आलेखाला अनुनाद वक्र म्हणतात:

अनेक नैसर्गिक, वैज्ञानिक आणि औद्योगिक प्रक्रियांमध्ये रेझोनान्सची घटना महत्त्वाची भूमिका बजावते. उदाहरणार्थ, लोड अंतर्गत कंपन अनुभवणारे पूल, इमारती आणि इतर संरचना डिझाइन करताना अनुनादची घटना लक्षात घेणे आवश्यक आहे, अन्यथा काही विशिष्ट परिस्थितीत या संरचना नष्ट होऊ शकतात.

गणितीय पेंडुलम हे सामान्य पेंडुलमचे मॉडेल आहे. गणितीय पेंडुलम हा एक भौतिक बिंदू आहे जो एका लांब वजनहीन आणि अगम्य धाग्यावर निलंबित केला जातो.

चला बॉलला त्याच्या समतोल स्थितीतून बाहेर काढू आणि सोडू. बॉलवर दोन शक्ती कार्य करतील: गुरुत्वाकर्षण आणि धाग्याचा ताण. जेव्हा पेंडुलम हलतो तेव्हा हवेच्या घर्षणाची शक्ती त्यावर कार्य करेल. परंतु आपण ते अगदी लहान मानू.

गुरुत्वाकर्षण शक्तीचे दोन घटकांमध्ये विघटन करू: धाग्याच्या बाजूने निर्देशित केलेले बल आणि चेंडूच्या प्रक्षेपकाच्या स्पर्शिकेला लंब निर्देशित केलेले बल.

ही दोन शक्ती गुरुत्वाकर्षणाच्या बलात जोडतात. धाग्याचे लवचिक बल आणि गुरुत्वाकर्षण घटक Fn चेंडूला केंद्राभिमुख प्रवेग प्रदान करतात. या शक्तींनी केलेले कार्य शून्य असेल आणि म्हणूनच ते फक्त वेग वेक्टरची दिशा बदलतील. कोणत्याही क्षणी, ते वर्तुळाच्या कमानीकडे स्पर्शिकपणे निर्देशित केले जाईल.

गुरुत्वाकर्षण घटक Fτ च्या प्रभावाखाली, बॉल एका वर्तुळाकार कमानीच्या बाजूने गती वाढवते. समतोल स्थितीतून जात असताना या शक्तीचे मूल्य नेहमी परिमाणात बदलते;

दोलन गतीची गतिशीलता

लवचिक शक्तीच्या कृती अंतर्गत दोलन करणाऱ्या शरीराच्या गतीचे समीकरण.

गतीचे सामान्य समीकरण:

प्रणालीतील दोलन लवचिक शक्तीच्या प्रभावाखाली उद्भवतात, जे हुकच्या नियमानुसार, लोडच्या विस्थापनाच्या थेट प्रमाणात असते.

मग चेंडूच्या गतीचे समीकरण खालील फॉर्म घेईल:

या समीकरणाला m ने विभाजित करा, आम्हाला खालील सूत्र मिळेल:

आणि वस्तुमान आणि लवचिकता गुणांक हे स्थिर प्रमाण असल्याने, गुणोत्तर (-k/m) देखील स्थिर असेल. आम्ही एक समीकरण प्राप्त केले आहे जे लवचिक शक्तीच्या कृती अंतर्गत शरीराच्या कंपनांचे वर्णन करते.

शरीराच्या प्रवेगाचा प्रक्षेपण त्याच्या समन्वयाच्या थेट प्रमाणात असेल, उलट चिन्हासह घेतले जाते.

गणितीय पेंडुलमच्या गतीचे समीकरण

गणितीय पेंडुलमच्या गतीचे समीकरण खालील सूत्राने वर्णन केले आहे:

हे समीकरण स्प्रिंगवरील वस्तुमानाच्या गतीच्या समीकरणासारखेच आहे. परिणामी, पेंडुलमचे दोलन आणि स्प्रिंगवरील चेंडूच्या हालचाली त्याच प्रकारे घडतात.

स्प्रिंगवर चेंडूचे विस्थापन आणि समतोल स्थितीतून पेंडुलम बॉडीचे विस्थापन कालांतराने समान नियमांनुसार बदलते.

गणिती पेंडुलमनिलंबनाला जोडलेल्या आणि गुरुत्वाकर्षणाच्या (किंवा इतर शक्ती) क्षेत्रात स्थित वजनहीन आणि अगम्य थ्रेडवर निलंबित केलेल्या मटेरियल पॉईंटला कॉल करा.

संदर्भाच्या जडत्वाच्या चौकटीत गणितीय पेंडुलमच्या दोलनांचा अभ्यास करू या, ज्याच्या सापेक्ष त्याच्या निलंबनाचा बिंदू विश्रांतीवर आहे किंवा सरळ रेषेत एकसमान हलतो. आम्ही हवेच्या प्रतिकार शक्तीकडे दुर्लक्ष करू (आदर्श गणितीय लोलक). सुरुवातीला, पेंडुलम समतोल स्थितीत C मध्ये विश्रांती घेते. या प्रकरणात, गुरुत्वाकर्षण बल \(\vec F\) त्यावर कार्य करते आणि धाग्याचे लवचिक बल \(\vec F_(ynp)\) परस्पर असतात. भरपाई

समतोल स्थितीतून पेंडुलम काढून टाकू (उदाहरणार्थ, A स्थानावर विचलित करून) आणि प्रारंभिक गतीशिवाय सोडू (चित्र 13.11). या प्रकरणात, बल \(\vec F\) आणि \(\vec F_(ynp)\) एकमेकांना संतुलित करत नाहीत. गुरुत्वाकर्षणाचा स्पर्शक घटक \(\vec F_\tau\), पेंडुलमवर कार्य करून, त्याला स्पर्शिका प्रवेग \(\vec a_\tau\) (गणितीय लोलकाच्या प्रक्षेपकाला स्पर्शिकेच्या बाजूने निर्देशित केलेल्या एकूण त्वरणाचा घटक) देतो ), आणि पेंडुलम निरपेक्ष मूल्यात वाढत्या गतीसह समतोल स्थितीकडे जाण्यास सुरवात करतो. गुरुत्वाकर्षणाचा स्पर्शक घटक \(\vec F_\tau\) अशा प्रकारे एक पुनर्संचयित शक्ती आहे. गुरुत्वाकर्षण बलाचा सामान्य घटक \(\vec F_n\) थ्रेडच्या बाजूने लवचिक बल \(\vec F_(ynp)\) विरुद्ध निर्देशित केला जातो. \(\vec F_n\) आणि \(\vec F_(ynp)\) बलांचा परिणाम पेंडुलमला सामान्य प्रवेग \(~a_n\) देतो, ज्यामुळे वेग वेक्टरची दिशा बदलते आणि पेंडुलम हलतो. चाप बाजूने अ ब क ड.

पेंडुलम समतोल स्थिती C च्या जितके जवळ येईल तितके स्पर्शिक घटक \(~F_\tau = F \sin \alpha\) चे मूल्य कमी होईल. समतोल स्थितीत, ते शून्याच्या बरोबरीचे असते, आणि गती त्याच्या कमाल मूल्यापर्यंत पोहोचते, आणि पेंडुलम जडत्वाने पुढे सरकतो, एका चाप मध्ये वरच्या दिशेने वाढतो. या प्रकरणात, घटक \(\vec F_\tau\) गतीच्या विरूद्ध निर्देशित केला जातो. विक्षेपण a च्या कोनात वाढ झाल्यामुळे, फोर्स मापांक \(\vec F_\tau\) वाढतो, आणि वेग मापांक कमी होतो आणि बिंदू D वर पेंडुलमचा वेग शून्य होतो. पेंडुलम क्षणभर थांबतो आणि नंतर समतोल स्थितीच्या विरुद्ध दिशेने जाऊ लागतो. जडत्वाद्वारे ते पुन्हा पास केल्यावर, पेंडुलम, त्याची हालचाल कमी करून, बिंदू A वर पोहोचेल (तेथे कोणतेही घर्षण नाही), म्हणजे. पूर्ण स्विंग पूर्ण करेल. यानंतर, पेंडुलमची हालचाल आधीच वर्णन केलेल्या अनुक्रमात पुनरावृत्ती होईल.

गणितीय पेंडुलमच्या मुक्त दोलनांचे वर्णन करणारे समीकरण घेऊ.

दिलेल्या क्षणी लोलक B बिंदूवर असू द्या. या क्षणी समतोल स्थितीपासून त्याचे विस्थापन S कंस SV च्या लांबीइतके आहे (म्हणजे S = |SV|). सस्पेंशन थ्रेडची लांबी दर्शवू l, आणि पेंडुलमचे वस्तुमान आहे मी.

आकृती 13.11 वरून हे स्पष्ट आहे की \(~F_\tau = F \sin \alpha\), जेथे \(\alpha =\frac(S)(l).\) लहान कोनात \(~(\alpha)<10^\circ)\) отклонения маятника \(\sin \alpha \approx \alpha,\) поэтому

\(F_\tau = -F\frac(S)(l) = -mg\frac(S)(l).\)

वजा चिन्ह या सूत्रामध्ये ठेवले आहे कारण गुरुत्वाकर्षणाचा स्पर्शक घटक समतोल स्थितीकडे निर्देशित केला जातो आणि विस्थापन समतोल स्थितीतून मोजले जाते.

न्यूटनच्या दुसऱ्या नियमानुसार \(m \vec a = m \vec g + F_(ynp).\) चला या समीकरणाचे वेक्टर प्रमाण गणितीय लोलकाच्या प्रक्षेपकाच्या स्पर्शिकेच्या दिशेवर प्रक्षेपित करू.

\(~F_\tau = ma_\tau.\)

या समीकरणांमधून आपल्याला मिळते

\(a_\tau = -\frac(g)(l)S\) - गणितीय पेंडुलमच्या गतीचे गतिमान समीकरण. गणितीय पेंडुलमचे स्पर्शिक प्रवेग त्याच्या विस्थापनाच्या प्रमाणात असते आणि समतोल स्थितीकडे निर्देशित केले जाते. हे समीकरण \ असे लिहिले जाऊ शकते. हार्मोनिक दोलन \(~a_x + \omega^2x = 0\) (§ 13.3 पहा) च्या समीकरणाशी तुलना केल्यास, आपण असा निष्कर्ष काढू शकतो की गणितीय पेंडुलम हार्मोनिक दोलन करते. आणि पेंडुलमचे मानले जाणारे दोलन केवळ अंतर्गत शक्तींच्या प्रभावाखाली झाले असल्याने, हे पेंडुलमचे मुक्त दोलन होते. त्यामुळे, लहान विचलनांसह गणितीय पेंडुलमचे मुक्त दोलन हार्मोनिक असतात.

आपण \(\frac(g)(l) = \omega^2.\) दर्शवू या जिथून \(\omega = \sqrt \frac(g)(l)\) ही पेंडुलमची चक्रीय वारंवारता आहे.

पेंडुलमच्या दोलनाचा कालावधी \(T = \frac(2 \pi)(\omega).\) आहे.

\(T = 2 \pi \sqrt( \frac(l)(g) )\)

या अभिव्यक्ती म्हणतात ह्युजेन्सचे सूत्र.हे गणितीय पेंडुलमच्या मुक्त दोलनांचा कालावधी निर्धारित करते. समतोल स्थितीपासून विचलनाच्या लहान कोनात, गणितीय पेंडुलमच्या दोलनाचा कालावधी: 1) त्याचे वस्तुमान आणि दोलनांच्या मोठेपणावर अवलंबून नाही; 2) पेंडुलमच्या लांबीच्या वर्गमूळाच्या प्रमाणात आणि गुरुत्वाकर्षणाच्या प्रवेगाच्या वर्गमूळाच्या व्यस्त प्रमाणात. हे गणितीय पेंडुलमच्या लहान दोलनांच्या प्रायोगिक नियमांशी सुसंगत आहे, जे G. गॅलिलिओने शोधले होते.

आम्ही यावर जोर देतो की दोन अटी एकाच वेळी पूर्ण झाल्यास कालावधीची गणना करण्यासाठी हे सूत्र वापरले जाऊ शकते: 1) पेंडुलम दोलन लहान असणे आवश्यक आहे; 2) पेंडुलमचा निलंबन बिंदू विश्रांतीवर असला पाहिजे किंवा तो स्थित असलेल्या जडत्वाच्या चौकटीच्या सापेक्ष सरळ रेषेत एकसारखा हलला पाहिजे.

जर गणितीय पेंडुलमचा निलंबन बिंदू प्रवेग \(\vec a\) ने फिरला, तर थ्रेडचे तणाव बल बदलते, ज्यामुळे पुनर्संचयित शक्तीमध्ये बदल होतो आणि परिणामी, दोलनांची वारंवारता आणि कालावधी. गणना दर्शविल्याप्रमाणे, या प्रकरणात पेंडुलमच्या दोलनाचा कालावधी सूत्र वापरून मोजला जाऊ शकतो

\(T = 2 \pi \sqrt( \frac(l)(g") )\)

जेथे \(~g"\) संदर्भाच्या जडत्व नसलेल्या चौकटीत पेंडुलमचे "प्रभावी" प्रवेग आहे. ते गुरुत्वाकर्षणाच्या प्रवेगाच्या भौमितिक बेरीज \(\vec g\) आणि वेक्टरच्या विरुद्ध आहे. सदिश \(\vec a\), म्हणजे सूत्र वापरून त्याची गणना केली जाऊ शकते

\(\vec g" = \vec g + (- \vec a).\)

साहित्य

अक्सेनोविच एल.ए. माध्यमिक शाळेत भौतिकशास्त्र: सिद्धांत. कार्ये. चाचण्या: पाठ्यपुस्तक. सामान्य शिक्षण देणाऱ्या संस्थांसाठी भत्ता. पर्यावरण, शिक्षण / L. A. Aksenovich, N. N. Rakina, K. S. Farino; एड. के.एस. फारिनो. - Mn.: Adukatsiya i vyakhavanne, 2004. - P. 374-376.

लोलक फौकॉल्ट- एक पेंडुलम ज्याचा वापर प्रायोगिकपणे पृथ्वीचे दैनिक परिभ्रमण प्रदर्शित करण्यासाठी केला जातो.

फौकॉल्ट पेंडुलम हा वायर किंवा धाग्यावर निलंबित केलेला एक मोठा भार आहे, ज्याचा वरचा भाग मजबूत केला जातो (उदाहरणार्थ, युनिव्हर्सल जॉइंट वापरुन) जेणेकरून पेंडुलम कोणत्याही उभ्या विमानात स्विंग करू शकेल. जर फौकॉल्ट पेंडुलम उभ्यापासून विचलित झाला असेल आणि सुरुवातीच्या वेगाशिवाय सोडला असेल, तर पेंडुलमच्या भारावर कार्य करणा-या गुरुत्वाकर्षणाची शक्ती आणि धागा तणाव पेंडुलमच्या स्विंगच्या समतल भागामध्ये सर्व वेळ पडून राहतील आणि त्याचे रोटेशन होऊ शकणार नाहीत. ताऱ्यांशी संबंधित (ताऱ्यांशी संबंधित संदर्भाच्या जडत्वाच्या चौकटीशी) पृथ्वीवर स्थित आणि त्याच्या सोबत फिरणारा निरीक्षक (म्हणजे, संदर्भाच्या जडत्व नसलेल्या चौकटीत स्थित) पाहील की फौकॉल्ट पेंडुलमचे स्विंगचे विमान पृथ्वीच्या पृष्ठभागाच्या सापेक्ष दिशेने हळू हळू फिरत आहे. पृथ्वीचे परिभ्रमण. हे पृथ्वीच्या दैनंदिन परिभ्रमणाच्या वस्तुस्थितीची पुष्टी करते.

उत्तर किंवा दक्षिण ध्रुवावर, फुकॉल्ट पेंडुलमचे स्विंगचे विमान 360° प्रति साइडरिअल दिवस (प्रति साइडरीअल तास 15 o ने) फिरेल. पृथ्वीच्या पृष्ठभागावरील एका बिंदूवर, ज्याचा भौगोलिक अक्षांश φ आहे, क्षितिजाचे समतल उभ्याभोवती ω 1 = ω sinφ (ω हे पृथ्वीच्या कोनीय वेगाचे मॉड्यूलस आहे) आणि स्विंग प्लेनसह उभ्याभोवती फिरते. पेंडुलमचा समान कोनीय वेगाने फिरतो. म्हणून, अक्षांश φ येथे फुकॉल्ट पेंडुलमच्या स्विंग प्लेनच्या फिरण्याच्या स्पष्ट कोनीय वेग, प्रति साईडरियल तासामध्ये व्यक्त केले जाते, त्याचे मूल्य ω m = 15 o sinφ, म्हणजे, लहान φ, लहान φ, आणि येथे असते. विषुववृत्त ते शून्य होते (विमान फिरत नाही). दक्षिण गोलार्धात, स्विंग प्लेनचे फिरणे उत्तर गोलार्धात आढळलेल्या दिशेने विरुद्ध दिशेने पाहिले जाईल. एक परिष्कृत गणना मूल्य देते

ω m = 15 o sinφ

कुठे ए- पेंडुलम वजनाच्या दोलनांचे मोठेपणा, l- धाग्याची लांबी. कोनीय वेग कमी करणारी अतिरिक्त संज्ञा लहान, मोठी आहे l. म्हणून, प्रयोगाचे प्रात्यक्षिक दाखवण्यासाठी, शक्य तितक्या लांब धाग्याचा (अनेक दहापट मीटर) फुकॉल्ट पेंडुलम वापरण्याचा सल्ला दिला जातो.

कथा

हे उपकरण प्रथम फ्रेंच शास्त्रज्ञ जीन बर्नार्ड लिओन फूकॉल्ट यांनी तयार केले होते.

हे उपकरण दोन मीटरच्या स्टील वायरवर कमाल मर्यादेपासून लटकवलेला पाच किलोग्रॅम पितळी बॉल होता.

फौकॉल्टने पहिला प्रयोग स्वतःच्या घराच्या तळघरात केला. ८ जानेवारी १८५१. शास्त्रज्ञांच्या वैज्ञानिक डायरीमध्ये याबद्दल एक नोंद करण्यात आली आहे.

३ फेब्रुवारी १८५१ जीन फौकॉल्टने पॅरिस वेधशाळेत पुढील सामग्रीसह पत्रे प्राप्त झालेल्या शिक्षणतज्ञांना आपला पेंडुलम दाखविला: "मी तुम्हाला पृथ्वीच्या परिभ्रमणाचे अनुसरण करण्यास आमंत्रित करतो."

त्याच वर्षी एप्रिलमध्ये पॅरिस पँथिऑनमध्ये लुई बोनापार्टच्या पुढाकाराने प्रयोगाचे पहिले सार्वजनिक प्रात्यक्षिक झाले. पँथिऑनच्या घुमटाखाली एक धातूचा बॉल निलंबित करण्यात आला होता स्टीलच्या वायरवर टीप जोडलेले 28 किलो वजनव्यास 1.4 मिमी आणि 67 मीटर लांबपेंडुलमने ते सर्वांमध्ये मुक्तपणे स्विंग करू दिले दिशानिर्देश अंतर्गत 6 मीटर व्यासासह एक गोलाकार कुंपण कुंपणाच्या काठावर वाळूचा मार्ग ओतला होता जेणेकरून पेंडुलम, त्याच्या हालचालीत, वाळूमध्ये खुणा काढू शकेल; पेंडुलम सुरू करताना साइड पुश टाळण्यासाठी, ते बाजूला नेले आणि दोरीने बांधले गेले, त्यानंतर दोरी जळून गेले. दोलन कालावधी 16 सेकंद होता.

हा प्रयोग खूप यशस्वी झाला आणि फ्रान्स आणि जगातील इतर देशांमधील वैज्ञानिक आणि सार्वजनिक मंडळांमध्ये विस्तृत अनुनाद झाला. फक्त 1851 मध्ये पहिल्या मॉडेलच्या आधारे इतर पेंडुलम तयार केले गेले आणि फौकॉल्टचे प्रयोग पॅरिसच्या वेधशाळेत, रिम्सच्या कॅथेड्रलमध्ये, रोममधील सेंट इग्नेशियस चर्चमध्ये, लिव्हरपूलमध्ये, ऑक्सफर्ड, डब्लिनमध्ये, रिओ दि जानेरो मध्ये, कोलंबो शहरात सिलोन, न्यूयॉर्क मध्ये.

या सर्व प्रयोगांमध्ये, बॉलची परिमाणे आणि लोलकाची लांबी भिन्न होती, परंतु या सर्वांनी निष्कर्षांची पुष्टी केली.जीन बर्नार्ड लिओन फूकॉल्ट.

पँथिओन येथे प्रात्यक्षिक केलेले पेंडुलमचे घटक आता पॅरिसच्या कला आणि हस्तकला संग्रहालयात ठेवण्यात आले आहेत. आणि फौकॉल्ट पेंडुलम्स आता जगाच्या अनेक भागांमध्ये आढळतात: पॉलिटेक्निक आणि वैज्ञानिक-नैसर्गिक इतिहास संग्रहालये, वैज्ञानिक वेधशाळा, तारांगण, विद्यापीठ प्रयोगशाळा आणि ग्रंथालयांमध्ये.

युक्रेनमध्ये तीन फौकॉल्ट पेंडुलम आहेत. एक युक्रेनच्या नॅशनल टेक्निकल युनिव्हर्सिटीमध्ये संग्रहित आहे “KPI नावाचे. इगोर सिकोर्स्की", दुसरा - खारकोव्ह राष्ट्रीय विद्यापीठात. व्ही.एन. कराझिन, तिसरा - खारकोव्ह तारांगण मध्ये.

गणिती पेंडुलमनिलंबनाला जोडलेल्या आणि गुरुत्वाकर्षणाच्या (किंवा इतर शक्ती) क्षेत्रात स्थित वजनहीन आणि अगम्य थ्रेडवर निलंबित केलेल्या मटेरियल पॉईंटला कॉल करा.

संदर्भाच्या जडत्वाच्या चौकटीत गणितीय पेंडुलमच्या दोलनांचा अभ्यास करू या, ज्याच्या सापेक्ष त्याच्या निलंबनाचा बिंदू विश्रांतीवर आहे किंवा सरळ रेषेत एकसमान हलतो. आम्ही हवेच्या प्रतिकार शक्तीकडे दुर्लक्ष करू (आदर्श गणितीय लोलक). सुरुवातीला, पेंडुलम समतोल स्थितीत C मध्ये विश्रांती घेते. या प्रकरणात, गुरुत्वाकर्षण बल आणि त्यावर कार्य करणाऱ्या धाग्याचे लवचिक बल F?ynp यांची परस्पर भरपाई केली जाते.

समतोल स्थितीतून पेंडुलम काढून टाकू (उदाहरणार्थ, A स्थितीत वळवून) आणि प्रारंभिक गतीशिवाय सोडू (चित्र 1). या प्रकरणात, शक्ती एकमेकांना संतुलित करत नाहीत. गुरुत्वाकर्षणाचा स्पर्शक घटक, पेंडुलमवर कार्य करतो, त्याला स्पर्शिक प्रवेग देतो?? (गणितीय पेंडुलमच्या प्रक्षेपकाला स्पर्शिकेच्या बाजूने निर्देशित केलेल्या एकूण प्रवेगचा घटक), आणि पेंडुलम निरपेक्ष मूल्यात वाढलेल्या गतीसह समतोल स्थितीकडे जाऊ लागतो. अशा प्रकारे गुरुत्वाकर्षणाचा स्पर्शक घटक हा पुनर्संचयित करणारा बल आहे. गुरुत्वाकर्षणाचा सामान्य घटक थ्रेडच्या बाजूने लवचिक शक्तीच्या विरूद्ध निर्देशित केला जातो. बलांच्या परिणामी पेंडुलमला सामान्य प्रवेग प्राप्त होतो, ज्यामुळे वेग वेक्टरची दिशा बदलते आणि पेंडुलम चाप ABCD च्या बाजूने फिरतो.

पेंडुलम समतोल स्थिती C च्या जितके जवळ येईल तितके स्पर्शिक घटकाचे मूल्य कमी होईल. समतोल स्थितीत, ते शून्याच्या बरोबरीचे असते, आणि वेग त्याच्या कमाल मूल्यापर्यंत पोहोचतो, आणि लोलक जडत्वाने पुढे सरकतो, वरच्या दिशेने वाढतो. या प्रकरणात, घटक गती विरुद्ध निर्देशित आहे. विक्षेपणाचा कोन जसजसा वाढतो तसतसे बलाचे परिमाण वाढते आणि वेगाची परिमाण कमी होते आणि बिंदू D वर लोलकाचा वेग शून्य होतो. पेंडुलम क्षणभर थांबतो आणि नंतर समतोल स्थितीच्या विरुद्ध दिशेने जाऊ लागतो. जडत्वाद्वारे ते पुन्हा पास केल्यावर, पेंडुलम, त्याची हालचाल कमी करून, बिंदू A वर पोहोचेल (तेथे कोणतेही घर्षण नाही), म्हणजे. पूर्ण स्विंग पूर्ण करेल. यानंतर, पेंडुलमची हालचाल आधीच वर्णन केलेल्या अनुक्रमात पुनरावृत्ती होईल.

गणितीय पेंडुलमच्या मुक्त दोलनांचे वर्णन करणारे समीकरण घेऊ.

दिलेल्या क्षणी लोलक B बिंदूवर असू द्या. या क्षणी समतोल स्थितीपासून त्याचे विस्थापन S कंस SV च्या लांबीइतके आहे (म्हणजे S = |SV|). सस्पेन्शन थ्रेडची लांबी l आणि पेंडुलमचे वस्तुमान m म्हणून दर्शवू.

आकृती 1 वरून हे स्पष्ट आहे की, कुठे. लहान कोनांवर () पेंडुलम विक्षेपित होतो, म्हणून

वजा चिन्ह या सूत्रामध्ये ठेवले आहे कारण गुरुत्वाकर्षणाचा स्पर्शक घटक समतोल स्थितीकडे निर्देशित केला जातो आणि विस्थापन समतोल स्थितीतून मोजले जाते.

न्यूटनच्या दुसऱ्या नियमानुसार. या समीकरणाचे वेक्टर परिमाण गणितीय लोलकाच्या स्पर्शिकेच्या दिशेने प्रक्षेपित करू.

या समीकरणांमधून आपल्याला मिळते

गणितीय पेंडुलमच्या गतीचे डायनॅमिक समीकरण. गणितीय पेंडुलमचे स्पर्शिक प्रवेग त्याच्या विस्थापनाच्या प्रमाणात असते आणि समतोल स्थितीकडे निर्देशित केले जाते. हे समीकरण असे लिहिले जाऊ शकते

हार्मोनिक कंपन समीकरणाशी त्याची तुलना करणे , आपण असा निष्कर्ष काढू शकतो की गणितीय पेंडुलम हार्मोनिक दोलन करते. आणि पेंडुलमचे मानले जाणारे दोलन केवळ अंतर्गत शक्तींच्या प्रभावाखाली झाले असल्याने, हे पेंडुलमचे मुक्त दोलन होते. परिणामी, लहान विचलनांसह गणितीय पेंडुलमचे मुक्त दोलन हार्मोनिक असतात.

चला सूचित करूया

पेंडुलम दोलनांची चक्रीय वारंवारता.

पेंडुलमच्या दोलनाचा कालावधी. त्यामुळे,

या अभिव्यक्तीला Huygens सूत्र म्हणतात. हे गणितीय पेंडुलमच्या मुक्त दोलनांचा कालावधी निर्धारित करते. सूत्रावरून असे दिसून येते की समतोल स्थितीपासून विचलनाच्या लहान कोनांवर, गणितीय पेंडुलमच्या दोलनाचा कालावधी आहे:

1. त्याच्या वस्तुमान आणि कंपन मोठेपणावर अवलंबून नाही;
2. पेंडुलमच्या लांबीच्या वर्गमूळाच्या प्रमाणात आणि गुरुत्वाकर्षणाच्या प्रवेगाच्या वर्गमूळाच्या व्यस्त प्रमाणात आहे.

हे गणितीय पेंडुलमच्या लहान दोलनांच्या प्रायोगिक नियमांशी सुसंगत आहे, जे G. गॅलिलिओने शोधले होते.

आम्ही यावर जोर देतो की दोन अटी एकाच वेळी पूर्ण झाल्यास कालावधीची गणना करण्यासाठी हे सूत्र वापरले जाऊ शकते:

1. पेंडुलमचे दोलन लहान असावेत;
2. पेंडुलमचा निलंबन बिंदू विश्रांतीवर असला पाहिजे किंवा तो स्थित असलेल्या जडत्वाच्या चौकटीच्या सापेक्ष सरळ रेषेत समान रीतीने फिरला पाहिजे.

जर गणितीय पेंडुलमचा निलंबन बिंदू प्रवेगसह हलतो, तर थ्रेडचे तणाव बल बदलते, ज्यामुळे पुनर्संचयित शक्तीमध्ये बदल होतो आणि परिणामी, दोलनांची वारंवारता आणि कालावधी. गणना दर्शविल्याप्रमाणे, या प्रकरणात पेंडुलमच्या दोलनाचा कालावधी सूत्र वापरून मोजला जाऊ शकतो

जडत्व नसलेल्या संदर्भ फ्रेममध्ये पेंडुलमचे "प्रभावी" प्रवेग कोठे आहे. हे गुरुत्वाकर्षणाच्या प्रवेगाच्या भौमितिक बेरीज आणि वेक्टरच्या विरुद्ध वेक्टरच्या समान आहे, म्हणजे. हे सूत्र वापरून मोजले जाऊ शकते