Tugas utama teori elastisitas adalah menentukan keadaan tegangan-regangan sesuai dengan kondisi pembebanan dan pengikatan benda tertentu.
Keadaan tegangan-regangan ditentukan jika komponen tensor tegangan () dan vektor perpindahan, sembilan fungsi, ditemukan.
Persamaan dasar teori elastisitas
Untuk mencari sembilan fungsi tersebut, Anda perlu menuliskan persamaan dasar teori elastisitas, atau:
Cauchies Diferensial
dimana komponen tensor bagian linier deformasi Cauchy;
Komponen tensor turunan perpindahan radial.
Persamaan kesetimbangan diferensial
dimana komponen tensor tegangan; - proyeksi gaya benda ke sumbu j.
Hukum Hooke untuk benda isotropik elastis linier
di mana konstanta Lame; untuk benda isotropik. Berikut adalah tegangan normal dan tegangan geser; deformasi dan sudut geser, masing-masing.
Persamaan di atas harus memenuhi ketergantungan Saint-Venant
Dalam teori elastisitas, masalah terselesaikan jika semua persamaan dasar terpenuhi.
Jenis permasalahan dalam teori elastisitas
Kondisi batas pada permukaan benda harus dipenuhi dan, bergantung pada jenis kondisi batas, ada tiga jenis masalah dalam teori elastisitas.
Tipe pertama. Kekuatan diberikan pada permukaan tubuh. Kondisi perbatasan
Tipe kedua. Masalah dimana perpindahan ditentukan pada permukaan benda. Kondisi perbatasan
Tipe ketiga. Masalah campuran teori elastisitas. Gaya ditentukan pada sebagian permukaan benda, dan perpindahan ditentukan pada bagian permukaan benda. Kondisi perbatasan
Masalah teori elastisitas langsung dan terbalik
Masalah di mana gaya atau perpindahan ditentukan pada permukaan suatu benda, dan diperlukan untuk mencari keadaan tegangan-regangan di dalam benda dan apa yang tidak ditentukan pada permukaan, disebut masalah langsung. Jika tegangan, deformasi, perpindahan, dll. ditentukan di dalam benda, dan Anda perlu menentukan apa yang tidak ditentukan di dalam benda, serta perpindahan dan tekanan pada permukaan benda (yaitu, temukan alasan yang menyebabkan hal tersebut keadaan tegangan-regangan)), maka permasalahan seperti ini disebut invers.
Persamaan teori elastisitas perpindahan (Persamaan Lame)
Untuk menentukan persamaan teori elastisitas perpindahan, kita tuliskan: persamaan kesetimbangan diferensial (18) Hukum Hooke untuk benda isotropik elastis linier (19)
Jika kita memperhitungkan bahwa deformasi dinyatakan melalui perpindahan (17), kita menulis:
Perlu juga diingat bahwa sudut geser berhubungan dengan perpindahan melalui hubungan berikut (17):
Mengganti ekspresi (22) ke dalam persamaan persamaan pertama (19), kita memperoleh tegangan normal
Perhatikan bahwa penulisannya dalam kasus ini tidak berarti penjumlahan atas i.
Mengganti ekspresi (23) ke dalam persamaan persamaan kedua (19), kita memperoleh tegangan geser
Mari kita tulis persamaan kesetimbangan (18) dalam bentuk diperluas untuk j = 1
Mengganti ekspresi tegangan normal (24) dan tangensial (25) ke dalam persamaan (26), kita memperoleh
di mana l adalah konstanta Lame, yang ditentukan oleh ekspresi:
Mari kita substitusikan ekspresi (28) ke dalam persamaan (27) dan tulis,
dimana ditentukan oleh ekspresi (22), atau dalam bentuk yang diperluas
Mari kita bagi ekspresi (29) dengan G dan tambahkan suku-suku serupa dan dapatkan persamaan Lame pertama:
dimana adalah operator Laplace (operator harmonik), yang didefinisikan sebagai
Demikian pula Anda bisa mendapatkan:
Persamaan (30) dan (32) dapat ditulis sebagai berikut:
Persamaan (33) atau (30) dan (32) merupakan persamaan Lamé. Jika gaya volume adalah nol atau konstan, maka
Selain itu, notasi dalam hal ini tidak berarti penjumlahan atas i. Di Sini
atau, dengan mempertimbangkan (31)
Substitusikan (22) ke (34) dan lakukan transformasi, kita peroleh
dan akibatnya
di mana adalah fungsi yang memenuhi persamaan ini. Jika
oleh karena itu, f adalah fungsi harmonik. Artinya deformasi volumetrik juga merupakan fungsi harmonik.
Dengan asumsi asumsi sebelumnya benar, kita mengambil operator harmonik dari garis ke-i persamaan Lame
Jika gaya volume nol atau konstan, maka komponen perpindahan merupakan fungsi biharmonik.
Berbagai bentuk representasi fungsi biharmonik melalui fungsi harmonik (memenuhi persamaan Lamé) telah diketahui.
dimana k = 1,2,3. Lebih-lebih lagi
Dapat ditunjukkan bahwa representasi perpindahan melalui fungsi harmonik mengubah persamaan Lame (33) menjadi identitas. Kondisi ini sering disebut kondisi Popkovich-Grodsky. Empat fungsi harmonik tidak diperlukan karena φ0 dapat disetel ke nol.
Isi 4
Dari editor terjemahan 10
Kata Pengantar edisi ketiga 13
Kata Pengantar edisi kedua 15
Kata Pengantar edisi pertama 16
Notasi 20
Bab 1. Pendahuluan 22
§ 1. Elastisitas 22
§ 2. Tegangan 23
§ 3. Sebutan gaya dan tegangan 24
§ 4. Komponen stres 25
§ 5. Komponen deformasi 26
§ 6. Hukum Hooke 28
§ 7. Notasi indeks 32
Masalah 34
Bab 2. Keadaan tegangan bidang dan regangan bidang 35
§ 8. Bidang yang ditekankan terdiri dari 35
§ 9. Deformasi bidang 35
§ 10. Tekankan pada poin 37
§ 11. Deformasi pada titik 42
§ 12. Pengukuran deformasi permukaan 44
§ 13. Konstruksi lingkaran deformasi Mohr untuk roset 46
§ 14. Persamaan kesetimbangan diferensial 46
§ 15. Kondisi batas 47
§ 16. Persamaan kompatibilitas 48
§ 17. Fungsi stres 50
Masalah 52
Bab 3. Soal dua dimensi pada koordinat persegi panjang 54
§ 18. Solusi dalam polinomial 54
§ 19. Efek akhir. Prinsip Saint-Venant 58
§ 20. Penentuan perpindahan 59
§ 21. Pembengkokan konsol yang dimuat pada akhir 60
§ 22. Membengkokkan balok dengan beban seragam 64
§ 23. Kasus lain dari balok dengan distribusi beban kontinu 69
§ 24. Penyelesaian masalah dua dimensi menggunakan deret Fourier 71
§ 25. Aplikasi lain dari deret Fourier. Beban berat sendiri 77
§ 26. Pengaruh kondom. Fungsi sendiri 78
Masalah 80
Bab 4. Soal dua dimensi pada koordinat kutub 83
§ 27. Persamaan umum dalam koordinat kutub 83
§ 28. Distribusi tegangan polar-simetris 86
§ 29. Pembengkokan murni balok lengkung 89
§ 30. Komponen deformasi pada koordinat kutub 93
§ 31. Perpindahan pada tegangan simetris nol 94
§ 32. Memutar disk 97
§ 33. Pembengkokan balok lengkung dengan gaya yang diterapkan pada ujung 100
§ 34. Dislokasi tepi 105
§ 35. Pengaruh lubang bundar terhadap distribusi tegangan pada pelat 106
§ 36. Gaya terkonsentrasi diterapkan pada suatu titik pada batas bujursangkar 113
§ 37. Beban vertikal sembarang pada batas lurus 119
§ 38. Gaya yang bekerja pada ujung baji 125
§ 39. Momen lentur yang bekerja pada ujung baji 127
§ 40. Aksi pada balok dengan gaya terkonsentrasi 128
§ 41. Stres dalam disk bundar 137
§ 42. Gaya yang bekerja pada suatu titik pada pelat tak hingga 141
§ 43. Solusi umum dari masalah dua dimensi dalam koordinat kutub 146
§ 44. Penerapan solusi umum dalam koordinat kutub 150
§ 45. Baji dimuat di sepanjang tepinya 153
§ 46. Solusi sendiri untuk irisan dan guntingan 155
Masalah 158
Bab 5. Metode Eksperimental. Metode fotoelastisitas dan metode moiré 163
§ 47. Metode eksperimental dan pengujian solusi teoritis 163
§ 48. Pengukuran tegangan dengan metode fotoelastik 163
§ 49. Polariskop melingkar 169
§ 50. Contoh penentuan tegangan dengan metode fotoelastik 171
§ 51. Penentuan tegangan utama 174
§ 52. Metode fotoelastisitas dalam kasus tiga dimensi 175
§ 53. Metode Moire 177
Bab 6. Soal dua dimensi pada koordinat lengkung 180
§ 54. Fungsi variabel kompleks 180
§ 55. Fungsi analitik dan persamaan Laplace 182
§ 56. Fungsi tegangan dinyatakan melalui fungsi harmonik dan kompleks 184
§ 57. Perpindahan yang berhubungan dengan fungsi tegangan tertentu 186
§ 58. Ekspresi tegangan dan perpindahan melalui potensi kompleks 188
§ 59. Resultan tegangan yang bekerja sepanjang kurva tertentu. Kondisi batas 190
§ 60. Koordinat lengkung 193
§ 61. Komponen tegangan pada koordinat lengkung 196
Masalah 198
§ 62. Solusi dalam koordinat elips. Lubang elips pada pelat dengan keadaan tegangan seragam 198
§ 63. Lubang elips pada pelat yang mengalami tegangan uniaksial 202
§ 64. Batasan hiperbolik. Guntingan 206
§ 65. Koordinat bipolar 208
§ 66. Solusi dalam koordinat bipolar 209
§ 67. Penentuan potensi kompleks berdasarkan kondisi batas tertentu. Metode N.I.Mushelishvili 214
§ 68 Rumus potensi kompleks 217
§ 69. Sifat-sifat tegangan dan regangan yang berhubungan dengan potensial kompleks analitis di wilayah material yang terletak di sekitar lubang 219
§ 70. Teorema integral batas 221
§ 71. Fungsi pemetaan ω(ξ) untuk lubang elips. Integral batas kedua 224
§ 72. Lubang elips. Rumus untuk ψ(ζ) 225
§ 73. Lubang elips. Masalah khusus 226
Soal 229
Bab 7. Analisis tegangan dan regangan dalam kasus spasial 230
§ 74. Pendahuluan 230
§ 75. Penekanan utama 232
§ 76. Ellipsoid tegangan dan permukaan pemandu tegangan 233
§ 77. Penentuan tegangan utama 234
§ 78. Invarian stres 235
§ 79. Penentuan tegangan geser maksimum 236
§ 80. Deformasi homogen 238
§ 81. Deformasi pada suatu titik tubuh 239
§ 82. Sumbu utama deformasi 242
§ 83. Rotasi 243
Masalah 245
Bab 8. Teorema umum 246
§ 84. Persamaan kesetimbangan diferensial 246
§ 85. Kondisi kompatibilitas 247
§ 86. Penentuan gerakan 250
§ 87. Persamaan kesetimbangan perpindahan 251
§ 88. Solusi umum untuk gerakan 252
§ 89. Prinsip superposisi 253
§ 90. Energi deformasi 254
§ 91. Energi regangan untuk dislokasi tepi 259
§ 92. Prinsip kerja virtual 261
§ 93. Teorema Castigliano 266
§ 94. Penerapan prinsip kerja minimum. Pelat persegi panjang 270
§ 95. Lebar efektif sayap lebar balok 273
Masalah 279
§ 96. Keunikan solusi 280
§ 97. Teorema timbal balik 282
§ 98. Perkiraan sifat solusi untuk keadaan tegangan bidang 285
Masalah 287
Bab 9. Masalah dasar tiga dimensi teori elastisitas 289
§ 99. Keadaan stres homogen 289
§ 100. Ketegangan batang prismatik karena pengaruh beratnya sendiri 290
§ 101. Torsi poros bundar dengan penampang konstan 293
§ 102. Pembengkokan murni batang prismatik 294
§ 103. Pembengkokan murni pelat 298
Bab 10. Torsi 300
§ 104. Torsi batang lurus 300
§ 105. Penampang elips 305
§ 106. Solusi dasar lainnya 307
§ 107. Analogi membran 310
§ 108. Torsi batang dengan penampang persegi panjang sempit 314
§ 109. Torsi batang persegi panjang 317
§ 110. Hasil tambahan 320
§ 111. Menyelesaikan masalah torsi menggunakan metode energi 323
§ 112. Torsi batang profil yang digulung 329
§ 113. Analogi eksperimental 331
§ 114. Analogi hidrodinamik 332
§ 115. Torsi poros berongga 335
§ 116. Torsi pipa berdinding tipis 339
§ 117. Dislokasi sekrup 343
§ 118. Puntiran suatu batang yang salah satu penampangnya tetap rata 345
§ 119. Torsi poros bundar dengan diameter variabel 347
Soal 355
Bab 11. Pembengkokan Balok 359
§ 120. Membengkokkan konsol 359
§ 121. Fungsi stres 361
§ 122. Penampang lingkaran 363
§ 123. Penampang elips 364
§ 124. Penampang persegi panjang 365
§ 125. Hasil tambahan 371
§ 126. Penampang asimetris 373
§ 127. Pusat tikungan 375
§ 128. Menyelesaikan masalah pembengkokan menggunakan metode film sabun 378
§ 129. Pergerakan 381
§ 130. Studi lebih lanjut tentang pembengkokan balok 382
Bab 12. Tegangan dan deformasi aksisimetris pada benda revolusi 384
§ 131. Persamaan umum 384
§ 132. Solusi dalam polinomial 387
§ 133. Pembengkokan pelat bundar 388
§ 134. Masalah tiga dimensi dari piringan yang berputar 391
§ 135. Gaya diterapkan pada suatu titik pada benda tak terhingga 393
§ 136. Kapal berbentuk bola di bawah pengaruh tekanan seragam internal atau eksternal 396
§ 137. Tekanan lokal di sekitar rongga bola 399
§ 138. Gaya yang diterapkan pada batas benda setengah tak terbatas 401
§ 139. Beban didistribusikan pada bagian batas benda semi tak hingga 405
§ 140. Tekanan antara dua benda bola yang bersentuhan 412
§ 141. Tekanan antara dua benda yang bersentuhan. Kasus yang lebih umum 417
§ 142. Tabrakan bola 422
§ 143. Deformasi simetris silinder bulat 424
§ 144. Silinder bundar di bawah aksi tekanan sekitar 428
§ 145. Solusi Boussinesq berupa dua fungsi harmonik 430
§ 146. Ketegangan pegas heliks (dislokasi sekrup pada cincin) 431
§ 147. Pembengkokan murni suatu bagian cincin melingkar 434
Bab 13. Tekanan suhu 436
§ 148. Kasus paling sederhana dari distribusi tegangan suhu. Metode penghapusan deformasi 436
Soal 442
§ 149. Perubahan suhu memanjang pada strip 442
§ 150. Piringan bundar tipis: distribusi suhu simetris terhadap pusat 445
§ 151. Silinder bulat panjang 447
Soal 455
§ 152. Bola 455
§ 153. Persamaan umum 459
§ 154. Teorema timbal balik dalam termoelastisitas 463
§ 155. Deformasi termoelastis total. Distribusi suhu acak 464
§ 156. Perpindahan termoelastik. Solusi integral dari V.M. Maizel 466
Masalah 469
§ 157. Tekanan awal 469
§ 158. Perubahan umum volume yang berhubungan dengan tegangan awal 472
§ 159. Regangan bidang dan keadaan tegangan bidang. Metode menghilangkan deformasi 472
§ 160. Masalah dua dimensi dengan aliran panas stasioner 474
§ 161. Keadaan tegangan termal bidang yang disebabkan oleh gangguan aliran panas homogen oleh lubang berinsulasi 480
§ 162. Solusi persamaan umum. Potensi perpindahan termoelastik 481
§ 163. Masalah umum dua dimensi untuk luas lingkaran 485
§ 164. Masalah umum dua dimensi. Penyelesaian potensi kompleks 487
Bab 14. Perambatan gelombang pada medium kontinyu elastis 490
§ 165. Pendahuluan 490
§ 166. Gelombang ekspansi dan gelombang distorsi dalam media elastis isotropik 491
§ 167. Gelombang bidang 492
§ 168. Gelombang longitudinal pada batang dengan penampang konstan. Teori dasar 497
§ 169. Tumbukan memanjang batang 502
§ 170. Gelombang permukaan Rayleigh 510
§ 171. Gelombang dengan simetri bola dalam medium tak hingga 513
§ 172. Tekanan ledakan dalam rongga bola 514
Aplikasi. Penerapan persamaan beda hingga dalam teori elastisitas 518
§ 1. Penurunan persamaan beda hingga 518
§ 2. Metode perkiraan berturut-turut 522
§ 3. Metode relaksasi 525
§ 4. Jerat segitiga dan heksagonal 530
§ 5. Relaksasi blok dan kelompok 535
§ 6. Torsi batang dengan penampang terhubung ganda 536
§ 7. Titik-titik yang terletak di dekat perbatasan 538
§ 8. Persamaan biharmonik 540
§ 9. Torsi poros melingkar dengan diameter variabel 548
§ 10. Memecahkan masalah dengan menggunakan komputer 551
Indeks nama 553
Indeks subjek 558
Pada benda yang diam atau bergerak karena pengaruh beban.
1. Masalah teori elastisitas
Tugas teori ini adalah menuliskan persamaan matematika, yang solusinya memungkinkan kita menjawab pertanyaan-pertanyaan berikut:
- Berapakah deformasi suatu benda tertentu jika pembebanan dengan besaran tertentu diterapkan padanya pada titik pembebanan yang diketahui?
- Apa yang akan menjadi ketegangan pada tubuh?
Pertanyaan apakah suatu benda akan roboh atau menahan beban-beban ini berkaitan erat dengan teori elastisitas, tetapi sebenarnya, hal itu tidak berada dalam kompetensinya.
Ada banyak contoh yang dapat diberikan - mulai dari menentukan deformasi dan tegangan pada balok yang dibebani pada penyangga, hingga menghitung parameter yang sama pada badan pesawat, roket, kapal selam, pada roda kereta, pada lapis baja a tank saat terkena proyektil, di pegunungan saat meletakkan adit, di rangka gedung bertingkat dan lain sebagainya.
Untuk kasus permasalahan teknik, tegangan dan deformasi pada struktur dihitung menggunakan teori yang disederhanakan, yang secara logika didasarkan pada teori elastisitas. Teori-teori tersebut meliputi: kekuatan materi, yang tugasnya menghitung batang dan balok, serta menilai tegangan yang timbul pada zona interaksi kontak benda padat; mekanika struktur- perhitungan sistem inti (misalnya jembatan), dan teori cangkang- cabang ilmu deformasi dan tegangan yang mandiri dan berkembang dengan baik, yang subjek penelitiannya adalah cangkang berdinding tipis - bentuk silinder, kerucut, bola, dan kompleks.
2. Konsep dasar teori elastisitas
Konsep dasar teori elastisitas adalah tegangan yang bekerja pada bidang kecil, yang dapat ditarik secara mental ke dalam benda melalui titik P tertentu, deformasi lingkungan kecil titik P dan perpindahan titik P itu sendiri tensor, tensor deformasi kecil, dan vektor perpindahan diperkenalkan kamu saya. Notasi singkat, Dimana indeksnya aku j ambil nilai 1, 2, 3 (atau x, kamu, z) harus dipahami sebagai matriks dalam bentuk:
Notasi singkat untuk tensor harus dipahami dengan cara yang sama.
Jika suatu titik fisis benda M akibat deformasi mengambil posisi baru dalam ruang P", maka vektor perpindahan adalah vektor yang komponennya (kamu x, kamu kamu, kamu z), atau, singkatnya, kamu saya. Dalam teori deformasi kecil komponen-komponennya kamu aku dan dianggap sebagai jumlah kecil (tepatnya, sangat kecil). Komponen tensor, disebut juga tensor regangan Cauchy atau tensor regangan linier dan vektor kamu aku dihubungkan oleh ketergantungan:
Dari entri terakhir jelas bahwa, Oleh karena itu, tensor regangan menurut definisinya simetris.
Jika suatu benda elastis berada dalam kesetimbangan di bawah pengaruh gaya luar (yaitu, kecepatan semua titiknya sama dengan nol), maka setiap bagian benda yang dapat diisolasi secara mental darinya juga berada dalam kesetimbangan. Sebuah parallelepiped persegi panjang yang sangat kecil menonjol dari benda, yang ujung-ujungnya sejajar dengan bidang koordinat sistem Cartesian. Dari kondisi keseimbangan parallelepiped dengan dimensi rusuknya dx, dy, dz, Setelah mempertimbangkan kondisi keseimbangan gaya dalam proyeksi, kita dapat memperoleh:
Demikian pula, persamaan kesetimbangan diperoleh, yang menyatakan persamaan momen utama semua gaya yang bekerja pada paralelepiped menjadi nol, direduksi menjadi bentuk:
Persamaan ini berarti tensor tegangan adalah tensor simetris dan jumlah komponen tensor tegangan yang tidak diketahui dikurangi menjadi 6. Hanya ada tiga persamaan kesetimbangan, yaitu. persamaan statika saja tidak cukup untuk menyelesaikan masalah. Solusinya adalah dengan menyatakan tegangan dalam bentuk regangan menggunakan persamaan hukum Hooke, dan kemudian menyatakan regangan dalam bentuk perpindahan. kamu aku menggunakan rumus Cauchy, dan substitusikan hasilnya ke persamaan kesetimbangan. Ini menghasilkan tiga persamaan kesetimbangan diferensial untuk tiga fungsi yang tidak diketahui kamu x kamu kamu kamu z, itu. jumlah yang tidak diketahui akan sesuai dengan jumlah persamaan. Persamaan ini disebut persamaan Navier-Cauchy.
. 3. Kondisi batas
Pemecahan masalah dalam teori elastisitas direduksi menjadi pengintegrasian sistem persamaan diferensial parsial yang menentukan perilaku benda elastis pada titik-titik dalam. Kondisi permukaan yang membatasi benda ditambahkan ke persamaan ini. Kondisi ini menentukan penempatan gaya permukaan luar atau perpindahan titik-titik pada permukaan benda. Tergantung pada hal ini, salah satu dari tiga jenis masalah nilai batas biasanya dirumuskan.
Masalah nilai batas pertama- kinematika. Komponen perpindahan terdapat dalam volume benda dan memperoleh nilai tertentu di permukaan. Pada kondisi permukaan benda, persamaan permukaan dan nilai komponen perpindahan di atasnya ditentukan dengan cara ini.
Masalah nilai batas kedua- statis. Dalam hal ini, tidak ada batasan pergerakan yang dikenakan pada permukaan benda dan persamaan permukaan, kosinus arah normal ke permukaan dan nilai komponen beban permukaan ditentukan.
Dalam hal permukaan benda berimpit dengan bidang koordinat, kondisi batas dapat dirumuskan secara langsung dalam tegangan. Maka cukup dengan menunjukkan persamaan permukaan dan menetapkan nilai komponen tegangan di atasnya.
Masalah nilai batas ketiga- Campuran. Dalam hal ini, kondisi kinematik diatur pada satu bagian permukaan tubuh, dan kondisi statis pada bagian lainnya.
Ketiga tugas ini tidak menghilangkan keragaman kondisi batas. Misalnya, pada luas permukaan tertentu, tidak ketiga komponen perpindahan atau komponen beban permukaan dapat ditentukan.
4. Lihat juga
Sumber
- Timoshenko S.P., Goodyear J. Teori elastisitas. M.: Nauka, 1979. 560 hal.
Penciptaan teori elastisitas dan plastisitas sebagai cabang mekanika yang berdiri sendiri didahului oleh karya para ilmuwan abad ke-17 dan ke-18 bahkan pada awal abad ke-17. G. Galileo (1564-1642) melakukan upaya untuk memecahkan masalah regangan dan pembengkokan balok. Dia adalah salah satu orang pertama yang mencoba menerapkan perhitungan pada masalah teknik sipil.
Teori pembengkokan batang elastis tipis dipelajari oleh para ilmuwan terkemuka seperti E. Mariotte, J. Bernoulli Sr., S.O. Coulomb, L. Euler, dan terbentuknya teori elastisitas sebagai ilmu dapat dikaitkan dengan karya R. Gun, T. Jung, J.L. Lagrange, S.Germain.
Robert Hooke (1635-1703) meletakkan dasar bagi mekanika benda elastis dengan menerbitkannya pada tahun 1678 R. pekerjaan di mana ia menggambarkan hukum proporsionalitas antara beban dan deformasi tarik yang ia tetapkan. Thomas Young (1773-1829) pada awal abad ke-19. memperkenalkan konsep modulus elastisitas tarik dan tekan. Ia juga membedakan antara deformasi tarik atau tekan dan deformasi geser. Karya Joseph Louis Lagrange (1736-1813) dan Sophie Germain (1776-1831) berasal dari waktu yang sama. Mereka menemukan solusi terhadap masalah pembengkokan dan getaran pelat elastis. Selanjutnya teori lempeng diperbaiki oleh S. Poisson dan 781-1840) dan L. Navier (1785-1836).
Jadi, pada akhir abad ke-18 dan awal abad ke-19. fondasi kekuatan bahan diletakkan dan landasan diciptakan bagi munculnya teori elastisitas. Pesatnya perkembangan teknologi menimbulkan sejumlah besar masalah praktis bagi matematika, yang menyebabkan pesatnya perkembangan teori. Salah satu dari sekian banyak permasalahan penting adalah masalah mempelajari sifat-sifat bahan elastis. Pemecahan masalah ini memungkinkan untuk mempelajari lebih dalam dan lengkap gaya-gaya dalam dan deformasi yang timbul pada benda elastis di bawah pengaruh gaya-gaya luar.
Tanggal lahirnya teori matematika tentang elastisitas harus dipertimbangkan pada tahun 1821, ketika karya L. Navier diterbitkan, di mana persamaan dasar dirumuskan.
Kesulitan matematika yang besar dalam memecahkan masalah teori elastisitas menarik perhatian banyak matematikawan terkemuka abad ke-19: Lame, Clapeyron, Poisson, dll. Teori elastisitas dikembangkan lebih lanjut dalam karya matematikawan Perancis O. Cauchy ( 1789-1857), yang memperkenalkan konsep deformasi dan tegangan, sehingga menyederhanakan penurunan persamaan umum.
Pada tahun 1828, perangkat dasar teori elastisitas matematika menemukan penyelesaiannya dalam karya ilmuwan dan insinyur Perancis G. Lame (1795-1870) dan B. Clapeyron (1799-1864), yang pada waktu itu mengajar di Institut Insinyur Kereta Api di St. Petersburg. Kerja sama mereka memberikan penerapan persamaan umum untuk memecahkan masalah praktis.
Pemecahan banyak masalah dalam teori elastisitas menjadi mungkin setelah mekanik Perancis B. Saint-Venant (1797-1886) mengemukakan prinsip yang menyandang namanya dan mengusulkan metode yang efektif untuk memecahkan masalah dalam teori elastisitas. Kelebihannya, menurut ilmuwan terkenal Inggris A. Love (1863-1940), juga terletak pada kenyataan bahwa ia menghubungkan masalah torsi dan pembengkokan balok dengan teori umum.
Jika matematikawan Prancis terutama menangani masalah-masalah umum teori, maka para ilmuwan Rusia memberikan kontribusi besar terhadap pengembangan ilmu kekuatan dengan memecahkan banyak masalah praktis yang mendesak. Dari tahun 1828 hingga 1860, ilmuwan terkemuka M.V. Ostrogradsky (1801-1861) mengajar matematika dan mekanika di universitas teknik St. Penelitiannya tentang getaran yang timbul pada medium elastis penting untuk pengembangan teori elastisitas. Ostrogradsky melatih sekelompok ilmuwan dan insinyur. Di antara mereka harus disebutkan D.I. Zhuravsky (1821-1891), yang, ketika mengerjakan pembangunan Kereta Api St. Petersburg-Moskow, tidak hanya menciptakan desain jembatan baru, tetapi juga teori untuk menghitung rangka jembatan, dan juga menurunkan rumus untuk tegangan tangensial pada balok lentur.
A. V. Gadolin (1828-1892) menerapkan masalah deformasi aksisimetris Lame pada pipa berdinding tebal untuk mempelajari tegangan yang timbul pada laras senapan artileri, menjadi salah satu orang pertama yang menerapkan teori elastisitas pada masalah teknik tertentu.
Di antara masalah-masalah lain yang dipecahkan pada akhir abad ke-19, perlu diperhatikan karya Kh. S. Golovin (1844-1904), yang melakukan perhitungan akurat balok lengkung menggunakan metode teori elastisitas, yang memungkinkannya untuk dilakukan. menentukan tingkat keakuratan solusi perkiraan.
Penghargaan besar atas pengembangan ilmu kekuatan adalah milik V. L. Kirpichev (1845-1913). Dia berhasil menyederhanakan berbagai metode untuk menghitung struktur statis tak tentu secara signifikan. Dia adalah orang pertama yang menerapkan metode optik pada penentuan tegangan eksperimental dan menciptakan metode kesamaan.
Hubungan erat dengan praktik konstruksi, integritas, dan kedalaman analisis menjadi ciri sains Soviet. I. G. Bubnov (1872-1919) mengembangkan metode perkiraan baru untuk mengintegrasikan persamaan diferensial, yang dikembangkan dengan cemerlang oleh B. G. Galerkin (1871-1945). Metode variasi Bubnov-Galerkin saat ini banyak digunakan. Karya-karya para ilmuwan dalam teori pembengkokan lempeng sangatlah penting. Melanjutkan penelitian Galerkin, P.F. Papkovich (1887-1946).
Sebuah metode penyelesaian masalah bidang dalam teori elastisitas, berdasarkan penerapan teori fungsi variabel kompleks, dikemukakan oleh G.V. Kolosov (1867-1936). Selanjutnya metode ini dikembangkan dan digeneralisasikan oleh N.I. Muskhelishvili (1891-1976). Sejumlah permasalahan tentang kestabilan batang dan pelat, getaran batang dan piringan, serta teori tumbukan dan kompresi benda elastis diselesaikan oleh A.N. Dinnik (1876-1950). Karya-karya L.S. Leibenzon (1879-1951) tentang kestabilan keseimbangan elastis batang bengkok panjang, tentang kestabilan cangkang bola dan silinder. Karya-karya besar V. Z. Vlasov (1906-1958) tentang teori umum batang spasial berdinding tipis, sistem terlipat, dan cangkang mempunyai kepentingan praktis yang besar.
Teori plastisitas memiliki sejarah yang lebih pendek. Teori matematika pertama tentang plastisitas diciptakan oleh Saint-Venant pada tahun 70-an abad ke-19. berdasarkan eksperimen insinyur Perancis G. Tresca. Pada awal abad ke-20. R. Mises menangani masalah plastisitas. G.Genki, L.Prandtl, T.Karman. Sejak tahun 30-an abad ke-20, teori plastisitas telah menarik perhatian banyak ilmuwan asing terkemuka (A. Nadai, R. Hill, V. Prager, F. Hodge, D. Drucker, dll.). Karya-karya tentang teori plastisitas oleh ilmuwan Soviet V.V. Sokolovsky, A.Yu. Ishlinsky, G.A. Smirnova-Alyaeva, L.M. Kontribusi mendasar terhadap penciptaan teori deformasi plastisitas dibuat oleh A.A. Ilushin. A A. Gvozdev mengembangkan teori penghitungan pelat dan cangkang berdasarkan beban destruktif. Rzhanitsyn.
Teori mulur sebagai cabang mekanika benda yang dapat dideformasi terbentuk relatif baru. Studi pertama di bidang ini dimulai pada tahun 20-an abad ke-20. Sifat umum mereka ditentukan oleh fakta bahwa masalah mulur sangat penting bagi teknik tenaga dan para insinyur terpaksa mencari metode yang sederhana dan cepat mencapai tujuan untuk memecahkan masalah praktis. Dalam penciptaan teori mulur, peran besar dimiliki oleh para penulis yang memberikan kontribusi signifikan terhadap penciptaan teori plastisitas modern. karenanya terdapat kesamaan dalam banyak ide dan pendekatan. Di negara kita, karya pertama tentang teori mekanik mulur adalah milik N.M. Belyaev (1943), K.D. Mirtov (1946), studi pertama N.N. Malinin, Yu.N. Rabotnova.
Penelitian di bidang benda kental elastis dilakukan pada karya A.Yu. Ishlinsky, A.N. Gerasimova, A.R. Rzhanitsyna, Yu.N. Rabotnova. Penerapan teori ini pada material yang menua, terutama beton, diberikan dalam karya N.X. Harutyunyan, A.A. Gvozdeva, G.N. Sejumlah besar penelitian mengenai creep bahan polimer telah dilakukan oleh tim peneliti di bawah kepemimpinan A.A. Ilyushina, A.K. Malmeister, M.I. Rozovsky, G.N. Savina.
Negara Soviet menaruh perhatian besar pada sains. Pengorganisasian lembaga penelitian dan partisipasi tim besar ilmuwan dalam pengembangan masalah topikal memungkinkan untuk meningkatkan ilmu pengetahuan Soviet ke tingkat yang lebih tinggi.
Dalam tinjauan singkat, tidak mungkin untuk membahas lebih detail karya semua ilmuwan yang berkontribusi pada pengembangan teori elastisitas dan plastisitas. Bagi yang ingin mengetahui secara detail sejarah perkembangan ilmu ini dapat merujuk pada buku teks karya N.I. Bezukhov, yang memberikan analisis rinci tentang tahapan utama pengembangan teori elastisitas dan plastisitas, serta bibliografi yang ekstensif.
1.1.Hipotesis dasar, prinsip dan definisi
Teori tegangan sebagai salah satu cabang mekanika kontinum didasarkan pada sejumlah hipotesis, yang utama adalah hipotesis kontinuitas dan keadaan tegangan alami (latar belakang).
Menurut hipotesis kontinuitas, semua benda dianggap kontinu penuh baik sebelum penerapan beban (sebelum deformasi) dan setelah aksinya. Dalam hal ini, setiap volume benda tetap padat (kontinu), termasuk volume dasar, yaitu sangat kecil. Dalam hal ini, deformasi suatu benda dianggap sebagai fungsi koordinat kontinu ketika bahan benda tersebut mengalami deformasi tanpa terbentuknya retakan atau lipatan terputus-putus di dalamnya.
Hipotesis keadaan tegangan alami mengasumsikan adanya tingkat tegangan awal (latar belakang) dalam benda, biasanya dianggap nol, dan tegangan aktual yang disebabkan oleh beban eksternal dianggap sebagai kenaikan tegangan di atas tingkat alami.
Seiring dengan hipotesis utama di atas, sejumlah prinsip dasar juga diadopsi dalam teori stres, di antaranya, pertama-tama, perlu disebutkan anugerah benda dengan elastisitas ideal, isotropi bola, homogenitas sempurna, dan hubungan linier antara tegangan dan deformasi.
Elastisitas ideal adalah kemampuan bahan yang mengalami deformasi untuk mengembalikan bentuk (ukuran dan volume) aslinya setelah menghilangkan beban luar (pengaruh luar). Hampir semua batuan dan sebagian besar bahan bangunan mempunyai tingkat elastisitas tertentu; bahan-bahan ini mencakup cairan dan gas.
Isotropi bola mengandaikan sifat bahan yang sama di semua arah beban; antipodanya adalah anisotropi, yaitu ketidaksamaan sifat dalam arah yang berbeda (beberapa kristal, kayu, dll.). Pada saat yang sama, konsep isotropi bola dan homogenitas tidak boleh dikacaukan: misalnya, struktur kayu yang homogen dicirikan oleh anisotropi - perbedaan kekuatan kayu di sepanjang dan melintasi serat. Bahan elastis, isotropik, dan homogen dicirikan oleh hubungan linier antara tegangan dan regangan, yang dijelaskan oleh hukum Hooke, yang dibahas pada bagian terkait di buku teks.
Prinsip dasar dalam teori tegangan (dan deformasi, antara lain) adalah prinsip aksi lokal dari beban eksternal yang seimbang - prinsip Saint-Venant. Menurut prinsip ini, sistem gaya seimbang yang diterapkan pada suatu benda di setiap titik (garis) menyebabkan tegangan pada material yang dengan cepat berkurang seiring dengan jarak dari tempat beban diterapkan, misalnya menurut hukum eksponensial. Contoh tindakan tersebut adalah memotong kertas dengan gunting, yang mengubah bentuk (memotong) bagian lembaran (garis) yang sangat kecil, sedangkan sisa lembaran kertas tidak akan terganggu, yaitu akan terjadi deformasi lokal. Penerapan prinsip Saint-Venant membantu menyederhanakan perhitungan matematis ketika memecahkan masalah estimasi PPN dengan mengganti beban tertentu, yang rumit untuk deskripsi matematis, dengan beban yang lebih sederhana namun setara.
Berbicara tentang pokok bahasan teori tegangan, maka perlu diberikan pengertian tentang tegangan itu sendiri, yang dipahami sebagai ukuran gaya-gaya dalam pada suatu benda, dalam suatu bagian tertentu, didistribusikan ke bagian yang bersangkutan dan menangkal beban luar. Dalam hal ini, tegangan-tegangan yang bekerja pada luas melintang dan tegak lurus disebut tegangan normal; oleh karena itu, tegangan yang sejajar dengan area ini atau menyentuhnya akan bersifat tangensial.
Pertimbangan teori tegangan disederhanakan dengan memperkenalkan asumsi-asumsi berikut, yang praktis tidak mengurangi keakuratan solusi yang diperoleh:
Perpanjangan relatif (pemendekan), serta pergeseran relatif (sudut geser) jauh lebih kecil daripada kesatuan;
Perpindahan titik-titik benda selama deformasinya kecil dibandingkan dengan dimensi linier benda;
Sudut rotasi bagian selama deformasi lentur benda juga sangat kecil dibandingkan dengan kesatuan, dan kuadratnya dapat diabaikan dibandingkan dengan nilai deformasi linier dan sudut relatif.
TEORI ELASTISITAS– cabang mekanika kontinum yang mempelajari perpindahan, deformasi dan tegangan benda diam atau bergerak di bawah pengaruh beban. Tujuan dari teori ini adalah untuk memperoleh persamaan matematika, yang solusinya memungkinkan kita menjawab pertanyaan-pertanyaan berikut: berapakah deformasi benda tertentu jika beban dengan besaran tertentu diterapkan padanya di tempat yang diketahui? Apa yang akan menjadi ketegangan pada tubuh? Pertanyaan apakah benda akan roboh atau menahan beban-beban ini berkaitan erat dengan teori elastisitas, namun sebenarnya tidak termasuk dalam lingkup teori ini.
Jumlah contoh yang mungkin tidak terbatas - mulai dari menentukan deformasi dan tegangan pada balok yang terletak pada penyangga dan dibebani gaya, hingga menghitung nilai yang sama dalam struktur pesawat terbang, kapal, kapal selam, pada roda kereta, pada baju besi. saat terkena proyektil, di pegunungan saat melewati adit, di rangka gedung bertingkat, dll. Peringatan harus dibuat di sini: struktur yang terdiri dari elemen berdinding tipis dihitung menggunakan teori yang disederhanakan secara logis berdasarkan teori elastisitas; teori-teori tersebut meliputi: teori ketahanan bahan terhadap beban (“bahan tahan” yang terkenal), yang tugasnya terutama menghitung batang dan balok; mekanika struktur – perhitungan sistem batang (misalnya, jembatan); dan terakhir, teori cangkang pada hakikatnya merupakan bidang ilmu deformasi dan tegangan yang mandiri dan sangat berkembang, yang subjek penelitiannya adalah elemen struktur terpenting - cangkang berdinding tipis - berbentuk silinder, kerucut, bulat, dan memiliki bentuk yang lebih kompleks. Oleh karena itu, dalam teori elastisitas, benda yang dimensi esensialnya tidak terlalu berbeda biasanya dipertimbangkan. Dengan demikian, benda elastis dengan bentuk tertentu dipertimbangkan, di mana gaya-gaya yang diketahui bekerja.
Konsep dasar teori elastisitas adalah tegangan yang bekerja pada area kecil, yang dapat ditarik secara mental ke dalam tubuh melalui suatu titik tertentu. M, deformasi lingkungan kecil suatu titik M dan memindahkan titik itu sendiri M. Lebih tepatnya, tensor tegangan diperkenalkan aku j, tensor deformasi kecil e aku j dan vektor perpindahan kamu aku.
Sebutan singkat s aku j, di mana indeksnya Saya, J mengambil nilai 1, 2, 3 harus dipahami sebagai matriks berbentuk:
Notasi singkat untuk tensor e harus dipahami dengan cara yang sama aku j.
Jika titik fisik tubuh M karena deformasi, ia mengambil posisi baru di ruang angkasa M, maka vektor perpindahan adalah vektor yang komponennya ( kamu x kamu kamu kamu z), atau, singkatnya, kamu aku. Dalam teori deformasi kecil komponen-komponennya kamu aku dan e Saya dianggap jumlah kecil (tepatnya, sangat kecil). Komponen tensor e aku j dan vektor kamu ij dihubungkan dengan rumus Cauchy, yang berbentuk:
Jelas bahwa e xy= e yx, dan, secara umum, e aku j= e Ji, jadi tensor regangan menurut definisinya simetris.
Jika suatu benda elastis berada dalam kesetimbangan di bawah pengaruh gaya luar (yaitu, kecepatan semua titiknya sama dengan nol), maka setiap bagian benda yang dapat diisolasi secara mental darinya juga berada dalam kesetimbangan. Sebuah parallelepiped persegi panjang kecil (sebenarnya, sangat kecil) menonjol dari benda, yang ujung-ujungnya sejajar dengan bidang koordinat sistem Cartesian. Oksiz(Gbr. 1).
Biarkan tepi paralelepiped memiliki panjang dx, mati, dz karenanya (di sini, seperti biasa dx ada perbedaan X, dll.). Menurut teori tegangan, komponen tensor tegangan bekerja pada permukaan paralelepiped, yang dilambangkan:
di ambang OADG:S xx, S xy, S xz
di ambang OABC:S yx, S Y y, S yz
di ambang DABE:S zx, S zy, S zz
dalam hal ini, komponen dengan indeks yang sama (misalnya s xx) bertindak tegak lurus terhadap permukaan, dan dengan indeks berbeda - pada bidang situs.
Pada sisi yang berlawanan, nilai komponen tensor tegangan yang sama sedikit berbeda, hal ini disebabkan oleh fakta bahwa keduanya merupakan fungsi koordinat dan berubah dari titik ke titik (selalu, kecuali dalam kasus paling sederhana yang diketahui), dan kecilnya perubahan dikaitkan dengan kecilnya dimensi paralelepiped, jadi kita dapat berasumsi bahwa jika di ambang OABC tegangan s diterapkan Y y, lalu di ambang GDEF tegangan s diterapkan Y y+ds Y y, dan nilai ds yang kecil Y y justru karena kecilnya, maka dapat ditentukan dengan menggunakan ekspansi deret Taylor:
(turunan parsial digunakan di sini, karena komponen tensor tegangan bergantung pada X, kamu, z).
Demikian pula, tekanan pada semua permukaan dapat dinyatakan melalui s aku j dan ds aku j. Selanjutnya, untuk berpindah dari tegangan ke gaya, Anda perlu mengalikan besarnya tegangan dengan luas daerah tempat tegangan tersebut bekerja (misalnya, s Y y+ds Y y kalikan dengan dx dz). Ketika semua gaya yang bekerja pada paralelepiped telah ditentukan, seperti yang dilakukan dalam statika, persamaan kesetimbangan benda dapat dituliskan, sedangkan dalam semua persamaan untuk vektor utama hanya suku-suku dengan turunannya yang tersisa, karena tegangannya sendiri menghilangkan satu sama lain, dan faktor-faktornya dx dy dz berkurang dan sebagai hasilnya
Demikian pula, persamaan kesetimbangan diperoleh, menyatakan persamaan momen utama semua gaya yang bekerja pada paralelepiped menjadi nol, yang direduksi menjadi bentuk:
Persamaan ini berarti tensor tegangan merupakan tensor simetris. Jadi, untuk 6 komponen yang tidak diketahui s aku j ada tiga persamaan kesetimbangan, yaitu persamaan statika saja tidak cukup untuk menyelesaikan masalah. Jalan keluarnya adalah dengan menyatakan tegangan s aku j melalui deformasi e aku j menggunakan persamaan hukum Hooke, dan kemudian deformasi e aku j ekspresikan melalui gerakan kamu aku menggunakan rumus Cauchy, dan substitusikan hasilnya ke persamaan kesetimbangan. Ini menghasilkan tiga persamaan kesetimbangan diferensial untuk tiga fungsi yang tidak diketahui kamu x kamu kamu kamu z, yaitu jumlah yang tidak diketahui sama dengan jumlah persamaan. Persamaan ini disebut persamaan Lamé
gaya massa (berat, dll.) tidak diperhitungkan
D – Operator Laplace, yaitu
Sekarang Anda perlu menetapkan kondisi batas pada permukaan tubuh;
Jenis utama dari kondisi ini adalah sebagai berikut:
1. Pada bagian permukaan benda yang diketahui S 1, perpindahan ditentukan, yaitu. vektor perpindahan sama dengan vektor yang diketahui dengan komponen ( fx; F kamu ; F z ):
kamu x = F(xyz)
kamu kamu= F(xyz)
kamu z = F(xyz)
(fx, f y, fz– fungsi koordinat yang diketahui)
2. Di seluruh permukaan S 2 gaya permukaan ditentukan. Ini berarti bahwa distribusi tegangan di dalam benda sedemikian rupa sehingga nilai tegangan di sekitar permukaan, dan pada batasnya, pada permukaan pada setiap luas dasar, menghasilkan vektor tegangan yang sama dengan vektor beban eksternal yang diketahui dengan komponen ( Fx ;Fy ; Fz) kekuatan permukaan. Secara matematis ditulis seperti ini: jika pada suatu titik A permukaan, vektor normal satuan pada permukaan ini mempunyai komponen nx, tidak, n z maka pada titik ini persamaan harus dipenuhi sehubungan dengan komponen (yang tidak diketahui) s aku j:e aku j, maka untuk tiga persamaan yang tidak diketahui kita mendapatkan enam persamaan, yaitu sistem yang ditentukan secara berlebihan. Sistem ini akan mempunyai solusi hanya jika kondisi tambahan mengenai e terpenuhi aku j. Kondisi ini merupakan persamaan kompatibilitas.
Persamaan ini sering disebut kondisi kontinuitas, yang menyiratkan bahwa persamaan tersebut menjamin kontinuitas benda setelah deformasi. Ungkapan ini bersifat kiasan, tetapi tidak tepat: kondisi ini menjamin adanya medan perpindahan yang kontinu jika kita menganggap komponen deformasi (atau tegangan) sebagai sesuatu yang tidak diketahui. Kegagalan memenuhi syarat-syarat tersebut tidak mengakibatkan terganggunya kesinambungan, melainkan tidak adanya pemecahan masalah.
Dengan demikian, teori elastisitas memberikan persamaan diferensial dan kondisi batas yang memungkinkan untuk merumuskan masalah nilai batas, yang penyelesaiannya memberikan informasi lengkap tentang distribusi tegangan, regangan, dan perpindahan pada benda yang ditinjau. Metode untuk memecahkan masalah seperti itu sangat kompleks dan hasil terbaik diperoleh dengan menggabungkan metode analitis dengan metode numerik menggunakan komputer yang kuat.
Vladimir Kuznetsov